Cermatilah posisi layar dan keyboard laptop. Pada saat Anda membuka atau menutup laptop, posisi layar dan keyboard membentuk sudut tertentu. Bagaimana cara menentukan sudut antara layar laptop dan keyboard? Secara matematis, sudut merupakan besaran rotasi suatu ruas garis dari suatu titik pangkalnya ke posisi lain. Sudut dapat pula diartikan sebagai ruang antara dua ruas garis lurus yang saling berpotongan. Titik perpotongannya disebut sebagai titik sudut.

Pada gambar tersebut, sudut antara  layar dan keyboard dinyatakan dengan ∠AOB. Misalkan layar dan keyboard laptop sebagai bidang maka kita dapat menentukan besar sudut antara bidang dan bidang. Pada subbab ini kita akan mempelajari sudut garis dan bidang secara geometri.

Dua garis dikatakan berpotongan jika kedua garis terletak pada satu bidang dan kedua garis hanya mempunyai satu titik persekutuan.

Gambar Sudut Antara Dua Garis Berpotongan

Pada gambar tersebut garis g dan h berpotongan di titik P. Sudut antara kedua garis itu dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut.

• Pililh titik A yang terletak pada garis g dan titik B yang terletak pada garis h.
• Besar sudut APB (m ∠APB) disebut ukuran sudut antara garis g dan garis h.

Sudut antara dua garis yang berpotongan yaitu sudut lancip yang terbentuk oleh kedua garis tersebut. Besar ∠(g, h) = m ∠APB dengan ∠(g, h) dibaca sudut antara garis g dan garis h.

Gambar Sudut Antara Dua Garis Bersilangan

Pada gambar tersebut garis g dan garis k bersilangan. Garis k terdapat pada bidang α, sedangkan garis g menembus bidang α di titik P. Sudut antara kedua garis itu dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut.

• Buatlah garis k’ yang melalui titik P dan sejajar garis k.
• Pilih titik C yang terletak pada garis g dan titik D yang terletak pada garis k’.
• Besar ∠CPD disebut ukuran sudut antara garis g dan garis k.

Sudut antara garis g dan garis k yang bersilangan yaitu sudut lancip yang terbentuk oleh garis g dan garis k’. Garis k’ sejajar garis k dan memotong garis g. Besar ∠(g, k) = m (g, k') = m ∠CPD.

Gambar Sudut Antara Garis dan Bidang

Pada gambar tersebut, garis g menembus bidang α di titik P. Sudut antara garis dan bidang itu dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut.

• Pilih titik E yang terletak pada garis g.
• Proyeksikan titik P dan titik E pada bidang α. Hasil proyeksi kedua titik yaitu titik P dan titik F.
• Besar ∠EPF disebut ukuran sudut antara garis g dan bidang α.

Sudut antara garis g dan bidang α yaitu sudut lancip yang terbentuk oleh garis g dan proyeksi garis g pada bidang α. Besar ∠(g, α) = m ∠EPF = θ.

Catatan:

• Jika garis g tegak lurus dengan bidang α, besar sudut antara garis g dan bidang α adalah 90° (siku-siku).
• Jika garis g terletak pada bidang α atau sejajar dengna bidang α, besar sudut antara garis g dan bidang α adalah 0°.

Gambar Sudut Antara Dua Garis

Bidang α dan bidang β berpotongan pada garis g atau garis (α, β). Ada dua cara menentukan besar sudut antara kedua bidang itu.

1.  Cara I

Gambar Sudut Antara Dua Bidang Cara I

Pada gambar tersebut, cara menentukan besar sudut antara kedua bidang sebagai berikut:

• Pilih titik Q yang terletak pada bidang α.
• Tarik garis tegak lurus melalui titik Q dan menembus bidang α di titik Q1. 
• Taris garis Q1T tegak lurus dengan garis (α, β).
• Hubungkan titik Q dengan titik T sehingga diperoleh ∠QTQ1. Besar ∠QTQ1  merupakan sudut antara bidang α dan bidang β.

Gambar Sudut Antara Dua Bidang Cara II

Pada gambar tersebut, cara menentukan besar sudut antara kedua bidang sebagai berikut:

• Pilih titik T yang terletak pada garis (α, β).
• Pada bidang β dibuat garis n ⊥ garis (α, β) melalui titik T.
• Pada bidang α dibuat garis m ⊥ garis (α, β) melalui titik T sehingga diperoleh ∠QTS. Besar ∠QTS merupakan sudut antara bidang α dan bidang β.

Cermati posisi mata terhadap layar dan keyboard laptop. Posisi antara mata dan layar disarankan berjarak antara 50 cm hingga 100 cm. Bagaimanakah cara menentukan jarak mata terhadap layar dan keyboard? Secara matematis, jarak mata terhadap layar merupakan panjang ruas garis terpendek yang menghubungkan keduanya.

Pada gambar diatas, jarak mata terhadap layar dinyatakan dengan panjang ruas garis AB. Sedangkan, jarak mata terhadap keyboard dinyatakan dengan panjang ruas garis AC. Misalkan layar dan keyboard laptop sebagai sebuah bidang dan mata sebagai sebuah titik maka kita dapat menentukan jarak titik terhadap bidang. 

A. Jarak Antara Dua Titik 

Perhatikan gambar berikut, terdapat dua titik yaitu titik A dan titik B. Jarak antara titik A dan titik B yaitu panjang ruas garis AB.

B. Jarak Titik terhadap Garis

Perhatikan gambar berikut, terdapat titik A dan garis g. Jarak titik A terhadap garis g yaitu panjang ruas garis AB sedemikian rupa sehingga ruas garis AB tegak lurus dengan garis g.

Catatan: Titik B disebut proyeksititik A pada garis g.

C. Jarak Titik terhadap Bidang

Perhatikan gambar berikut, terdapat titik A dan bidang α. Jarak titik A terhadap bidang α yaitu panjang ruas garis AB sedemikian rupa sehingga ruas garis AB tegak lurus dengan bidang α. Oleh karena ruas garis AB tegak lurus dengan bidang α maka ruas garis AB tegak lurus dengan semua garis pada bidang α. Namun, untuk menunjukkan garis AB tegak lurus dengan bidang α cukup ditunjukkan garis tegak lurus dengan dua garis pada bidang α.

Catatatn: Titik B disebut proyeksi titik A pada bidang α.

D. Jarak Antara Dua Garis Sejajar

Perhatikan gambar berikut, terdapat dua garis yaitu garis g dan garis h. Jarak antara garis g dan garis h yaitu panjang ruas garis AB sedemikian sehingga ruas garis AB tegak lurus dengan garis g dan garis h. Jarak antara garis g dan garis h ditentukan dengan memilih sebarang titik yang terletak pada garis, misalnya titik A, lalu diukur jaraknya dengan garis h.

E. Jarak Garis terhadap Bidang

Perhatikan gambar berikut, terdapat garis g dan bidang α. Jarak garis g terhadap bidang α yaitu panjang ruas garis AB sedemikian rupa sehingga ruas garis AB tegak lurus dengan garis g dan bidang α. Jarak garis terhadap bidang α ditentukan dengan memilih sebarang titik yang terletak pada garis g, misalnya titik A, lalu diukur jaraknya dengan bidang α. 

F. Jarak Antara Dua Bidang Sejajar

Perhatikan gambar berikut, terdapat dua bidang yaitu bidang α dan biang β. Jarak bidang β terhadap bidang α yaitu panjang ruas garis AB sedemikian rupa sehingga ruas garis AB tegak lurus dengan bidang β terhadap bidang α. Jarak bidang β terhadap terhadap bidang α ditentukan dengan memilih sebarang titik yang terletak pada bidang β, misalnya titik A, lalu diukur jaraknya dengan bidang α.

1. Titik terletak pada garis. Pada gambar tersebut, titik A dan titik B terletak pada garis l.
2. Titk terletak diluar garis. Pada gambar tersebut, titik C terletak di luar gari l.

1. Titik terletak pada bidang. Pada gambar tersebut, titik A dan titik B terletak pada bidang α.
2. Titik terletak diluar bidang. Pada gambar tersebut, titik C terletak diluar bidang α.

1. Dua garis berpotongan. Pada gambar (i), garis m dan garis n saling berpotongan. Garis m dan garis n dikatakan berpotongan karena kedua garis terletak pada bidang α dan kedua garis hanya mempunyai satu titik persekutuan yaitu titik A.
2. Dua garis sejajar. Pada gambar (ii), garis p dan garis q saling sejajar. Garis p dan garis q dikatakan sejajar karena kedua garis terletak pada bidang α, tetapi kedua garis tidak mempunyai titik persekutuan.
3. Dua garis bersilangan. Pada gambar (iii), garis r dan garis s saling bersilangan. Garis r bersilangan dengan garis s karena garis r terletak pada bidang α, sedangkan garis s menembus bidang α. Dengan pengertian lain, kedua garis pada bidang yang berlainan dan kedua garis tidak mempunyai titik persekutuan.

1. Garis terletak pada bidang. Pada gambar (i), garis m dan garis n terletak pada bidang α. Oleh karena setiap titik pada garis terletak pada bidang α maka garis itu juga terletak pada bidan α.
2. Garis sejajar dengan bidang. Pada gambar (ii), garis k terletak pada bidang α dan garis l terletak di luar bidang α. Oleh karena garis l sejajar dengan garis k maka garis l sejajar dengan bidang a.
3. Garis memotong atau menembus bidang. Pada gambar (iii) garis h dan garis j memotong atau menembus bidang α berturut-turut di titik A dan titik B. Garis j memotong tegak lurus dengan bidang α. Akibatnya garis j akan tegak lurus dengan semua garis pada bidang α.

1. Dua bidang sejajar. Pada gambar (i), bidang α dan bidang β saling sejajar. Kedua bidang dikatakan saling sejajar karena tidak mempunyai garis persekutuan.
2. Dua bidang berpotongan. Pada gambar (ii), bidang α dan bidang β saling berpotongan. Kedua bidang dikatakan saling berpotongan karena mempunyai satu garis persekutuan yaitu gari sAB. Garis persekutuan itu disebut garis perpotongan bidang α dan bidang β.

Rataan dapat juga dinamakan rataan hitung, rata-rata, atau mean. Rataan dari suatu kumpulan data ditentukan sebagai perbandingan jumlah semua nilai datum dengan banyak nilai datumnya.

2. Rataan dari Tabel Distribusi Frekuensi Tunggal

3. Rataan Gabungan

4. Rataan Sementara

Ilustrasi:

• Data 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 12, tidak memiliki modus, sebab tidak ada nilai yang paling sering muncul.
• Data 3, 3, 5, 5, 7, 7, 8, 8, tidak memiliki modus, sebab tidak ada nilai yang paling sering muncul.
• Data 5, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 9, 9, 9, memiliki modus 7, sebab nilai 7 paling sering muncul yaitu sebanyak 4 kali.
• Data 2, 3, 4, 4, 5, 5, 7, 8, 9, memiliki modus 4 dan 5, sebab sama-sama paling sering muncul yaitu sebanyak 2 kali.
• Data 7, 8, 9, 9, 10, 10, 11, 11, 12, 13, memiliki modus 9, 10, dan 11, sebab nilai 9, 10, dan 11 sama-sama paling sering muncul, yaitu sebanyak 2 kali.

Catatan:

Data yang memiliki satu modus dinamakan unimodus, memiliki dua modus dinamakan bimodus, memiliki lebih dari dua modus dinamakan multimodus. Di samping itu ada suatu data yang sama sekali tidak memiliki modus.